1 引言

多基站雷达无源定位系统中，雷达本身不发射电磁波，而是借助外辐射源信号或直接截获目标辐射源发射信号进行处理以实现相应的功能；多基站雷达无源定位具有功耗低、隐蔽性好等优势，在军事、民事中得到广泛应用^[1–7]。常见的多基站雷达无源定位算法有间接定位算法和直接定位(Direct Position Determination, DPD)算法，也称为两步定位算法和一步定位算法。前者首先从截获的目标观测信号中提取相关参数(如到达角(Angle Of Arrival, AOA)、到达时差(Time Difference Of Arrival, TDOA)等)，然后利用提取到的参数通过数学运算获得目标位置^[1–4]。后者则没有参数提取的过程，而是将截获的信号进行简单处理后直接传输至中央处理器并对目标进行定位^[5–7]。两步定位算法中，参数提取的过程在每个接收雷达基站独立进行，忽略了所有观测回波信号对应同一个目标这一客观约束，在低信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)情况下其定位性能将严重恶化；而DPD算法则能充分利用各接收基站的观测回波信息，具有比两步定位算法更优的定位性能^[5]。

针对多基站雷达无源直接定位这一背景，Weiss推导了在发射信号已知和发射信号未知两种情况下的最小二乘估计表达式^[5]。该DPD算法只需通过对目标所在2维平面或3维空间区域进行网格搜索，寻找使相应的目标函数最大化的网格点作为辐射源目标的位置估计。对于发射信号已知的情况(例如训练信号或同步信号)，通过直接搜索待估参数使得目标函数最大化即可实现目标的定位；对于更为常见的发射信号未知的情况，根据观测信号构建与目标位置相关的矩阵，并通过一定的数学变换直接搜索该矩阵的最大特征值进而完成参数的估计。一般情况下，前者(DPD-known算法)可以获得最佳的定位性能，而后者(DPD-unknown算法)由于有部分发射信号特征信息的丢失，其定位性能要劣于前者。在很多情况下，辐射源发射信号的模型已知而具体参数未知，例如未知信号参数的线性调频(Linear Frequency Modulation, LFM)信号，可通过估计发射信号参数来进一步提高目标定位精度。

LFM信号具有低截获率、高分辨率、大时宽带宽积等优势，广泛应用于雷达、通信及地震识别等领域^[8,9]。因此，对于LFM信号辐射源进行多基站雷达无源直接定位具有重要的理论意义和应用价值。文献[6]为解决单个LFM信号辐射源的定位问题，通过短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform, STFT)推导了联合估计LFM信号参数和目标位置的DPD算法，其定位精度明显优于DPD-unknown算法。但是上述DPD算法无法实现多目标定位，因此在实际场景中对多个LFM信号辐射源的定位问题亟待解决。

为确定监测区域内多个未知信号参数的LFM信号辐射源的位置，本文提出一种基于分数傅里叶变换(FRactional Fourier Transform, FRFT)和DPD算法相结合的多目标定位算法。FRFT作为一种广义的傅里叶变换(Fourier Transform, FT)，在波传播和光学领域是研究、分析和处理信号的一种重要手段^[9–12]。因FRFT对LFM信号具有良好能量聚集性，被普遍用来估计LFM信号的相关参数^[11,13]。本文首先对观测信号应用FRFT得到其功率谱，并结合目标提取算法进而实现辐射源数量估计；其次利用基本分类方法对估计得到的相关信号参数进行分类，并对感兴趣参数空间进行多次4维网格搜索进而实现多辐射源位置及相应信号参数估计；最后，通过仿真实验验证本文提出算法的定位性能。仿真结果表明该算法能够准确定位监测区域内的多个辐射源目标，且定位精度优于DPD-unknown算法。

2 信号模型与问题导出

如图1所示，在2维笛卡尔坐标系下， $M$ 个同步接收基站位于 ${{{p}}\!_m} = ({x_m},{y_m}),m = 1,2,·\!·\!· ,M$ ; Q个非合作静止目标位于坐标 ${{{p}}\!_q} = ({x_q},{y_q}), q = 1,2,·\!·\!· ,Q$ ，每个目标均发射LFM信号。 $M$ 个基站截获信号后，将观测样本发送至中央处理器对目标进行联合定位。

假设从目标 $q$ 的信号传输至接收基站 $m$ 的时延为：

其中， ${t_{0,q}}$ 表示目标 $q$ 的信号发射时间； ${\tau _m}({{{p}}_q})$ 表示信号从目标 $q$ 传输至接收基站 $m$ 的时间，即

c为光速。

假设所有基站均能接收到目标信号，则在第 $m$ 个基站中观测到的回波信号如下：

其中， ${\gamma _{m,q}}$ 表示与目标 $q$ 以及接收通道相关的衰减系数； ${w_m}(t)$ 表示接收基站 $m$ 处的噪声，且 ${w_m}(t) \sim N(0,\sigma _m^2)$ ; ${x_q}(t - {t_{m,q}}({{{p}}_q}))$ 表示在位置 ${{{p}}_q}$ 经目标 $q$ 发射并延时 ${t_{m,q}}({{{p}}_q})$ 后的信号，其模型如下：

其中， ${f_{0,q}}$ 为目标 $q$ 发射LFM信号的初始频率， ${k_q}$ 为调频斜率， ${T_{p.q}}$ 为信号持续时间。

为了方便描述，可将式(3)中的接收信号表示为：

其中

经采样后，式(5)可表达为如下向量形式：

其中

且

其中， $ {[ \cdot ]^{\rm{T}}} $ 表示向量转置运算符， ${N_s}$ 是样本数； ${{{w}}_m}$ 中各量相互独立，其相关矩阵为 ${{R}}_m^{}{\rm{ = }}\sigma _m^2{{I}}$ 。

由以上分析可知，未知待估参数包括所有目标的衰减系数 $ {{{γ}}\! _m} $ 、位置 ${{P}} = [ {{{{p}}_1}}\ {·\!··}\ {{{{p}}_Q}}]$ 、信号发射时间 ${{{t}}_0} \!=\! [ {{t_{0,1}}}\, {·\!··}\, {{t_{0,Q}}} ]$ 、信号持续时间 $ {{{T}}\!_p} =[ {{T_{p,1}}} \,{·\!· ·}\,{{T_{p,Q}}} ]$ ，以及LFM信号的初始频率 ${{{f}}\!_0} = [{{f_{0,1}}}\ {·\!·· }\ {{f_{0,Q}}} ]$ 和调频斜率 ${{k}} = [{{k_1}} \ {·\!··}\ {{k_Q}} ]$ 。如文献[14]中所述，采用高维似然估计算法可以联合估计出全部的未知参数。用 ${H_0}$ 表示观测信号中仅存在噪声的情况， ${H_1}$ 表示目标存在的情况，则在不同假设下的似然函数为：

其中， ${D_0}$ , ${D_1}$ 表示与待估计参数无关的常数； $ {[ \cdot ]^{\rm{H}}} $ 表示向量共轭转置运算符。参见文献[15]，因 $p({{{r}}_m}|{H_0})$ 的表达式与未知参数无关，首先将式(10)表示为 ${H_1}$ 和 ${H_0}$ 下的似然函数之比，然后对其取对数并消去无关常数，可得对数似然比函数为：

由于 ${{{γ}}\!_m}$ 在位置和信号参数的确定过程中不起作用，所以可先求其似然估计值，再代回式(12)便可消去该量。令：

则 ${{{γ}}\!_m}$ 的最大似然估计值为：

将其代回式(12)，可得如下对数似然比函数：

式(15)中全部的未知参数可以通过对参数空间进行穷尽搜索得到^[14]，即

式(16)即是对辐射源位置 ${{P}}$ 和信号参数 ${{{t}}_0}$ , ${{{T}}\!_p}$ , ${{{f}}\!_0}$ 及 ${{k}}$ 的联合估计形式。需指出的是，式(16)是在Q已知的前提条件下对参数空间进行 $6Q$ 维网格搜索进而使得对数似然比函数最大化。显然，由于待估计参数较多且搜索维度较大，导致式(16)所代表的高维似然函数估计算法计算复杂度过大。为此，本文提出一种次优算法，在尽可能降低计算成本的同时可以保证较高的定位精度。

3 基于FRFT的多目标直接定位算法

本文提出的基于FRFT的多目标直接定位算法(DPD-FRFT算法)思路：首先，利用FRFT处理接收信号得到其功率谱，并应用目标提取算法提取功率谱局部极值点，进而获得目标数量的估计值；然后，基于FRFT域中相应参数与LFM信号参数的关系式，可以得到相关信号参数的估计值；其次，利用基本分类算法可进一步将多目标问题转化为多个单目标问题；最后，基于4维网格搜索方法便可获得单个目标的位置及相应信号参数估计值。高维似然估计算法是理论最优的，而DPD-FRFT算法作为一种次优的定位算法，通过将高维的多目标定位问题转化为多个低维的单目标定位问题来降低计算量，因此可以认为该算法是在计算复杂度和定位精度之间折中的定位算法。

3.1 分数傅里叶变换简介

常见的FRFT定义为^[13]：

其中， $p$ 为阶次， ${X_p}(u)$ 为 $p$ 阶下函数 $x(t)$ 的分数阶傅里叶变换； ${K_p}(u,t)$ 为核函数，其表达式为：

其中， $n$ 为整数； $\alpha $ 为时频面旋转角度； ${A_\alpha }$ 为复指数，可表示为：

假设 $x(t)$ 的离散形式为 $x(n{T_{\rm s}})$ , ${T_{\rm s}}$ 为采样时间，则式(17)的离散形式为：

由于FRFT是传统FT的广义形式，具有与FT类似的线性性质，即

其中， $v$ 为整数， ${c_v}$ 为系数， ${y_v}(u)$ 是待处理的函数； $ {F^p}( \cdot ) $ 表示对括号内函数的分数阶傅里叶变换。该性质表示FRFT是一种线性变换，满足线性叠加原理。

因时间量纲(s)和频率量纲(Hz)不一致，且尺度也不统一，FRFT作为一种时频变换工具，在该种情况下不便于其进行离散化处理。为了计算简便，Ozaktas提出采样性算法^[8]。该算法首先引入量纲归一化因子 $S = \sqrt {T/{f\!_ {\rm{s}}}} $ ，其中T 为观测时间， ${f\!_ {\rm{s}}}$ 为采样频率；然后对时、频域做归一化处理，并得到新的坐标范围为 $[ - X/2,X/2]$ ，其中 $X = \sqrt {T\,{f\!_ {\rm{s}}}} $ 。因此该变换可以把时域和频域均转换为没有量纲的域，实现了量纲归一化，且变换前后样本数保持不变。

3.2 目标数量估计

利用FRFT可以把LFM信号重构到新的LFM基函数空间当中。该空间由调频斜率可改变的LFM信号构成，且具有与利用FT研究单频信号时会在相应频率处表现出冲激函数特性完全相同的性质^[13]。仅当其旋转角度 $\alpha $ (一般用阶次 $p$ 代替)对应于LFM信号调频斜率时，LFM信号在该FRFT域( $(u,\alpha )$ 域)中才表现出能量聚集特性，即得到的3维功率谱中出现尖峰，且峰值点的 $\alpha $ 坐标值为此时的旋转角度。因此，利用FRFT分析处理LFM信号时，可以“找出”恰当的变换阶数，在该阶次的 $(u,\alpha )$ 域中会表现出能量聚集特性。同时，考虑FRFT的线性性质，高斯白噪声在任意阶次下的FRFT变换空间中都不会表现出冲激函数特性。

考虑一个离散LFM信号，其调频斜率为 $k$ ，初始频率为 ${f\!_0}$ ，结合定义式(4)，该信号可表示为：

由式(17)、式(18)可知，对式(22)作FRFT可得：

此即式(22)的功率谱函数。当 $ {T_ {\rm{s}}}^2\cot \alpha +k{T_ {\rm{s}}}^2= 0$ 时， ${X_p}(u)$ 在 $(u,\alpha )$ 域会表现出能量聚集特性^[13]。

由于FRFT具有线性叠加性，因此对于多辐射源发射的多个LFM信号只需进行信号叠加，根据能量聚集后局部极值点的数量，利用图像膨胀算法^[16]便可确定目标数量的估计值。由于高斯白噪声不具有冲激特性，因此该方法不受噪声影响。

3.3 信号参数分类

参见文献[13]，假设式(23)满足能量聚集特性，此时尖峰脉冲所对应的 $u$ 坐标值为 ${u_0}$ ，旋转角度值为 ${\alpha _0}$ (对应最佳阶次 ${p_0}$ )。LFM信号中 $k$ , ${f_0}$ 的估计值为：

其中，S是 ${T_ {\rm{s}}}$ , $f$ 的量纲归一化因子； ${n_0}$ 是LFM信号起始时间的序号，在接收信号中表现为由发射时间及传输时延决定的发射信号的起始样本点编号； ${f\!_1}$ 表示在得到 ${u_0}$ , ${p_0}$ 后即可得到的初始频率的部分估计值， ${f_2}$ 表示与时延相关的初始频率的部分估计值。由式(24)可知，初始频率和调频斜率的估计是基于量纲归一化方法的。

对估计得到的调频斜率 $\hat k$ 利用基本分类算法^[17]进行分类，从而将多目标问题转化为单目标问题。具体方法如下：首先，利用FRFT处理所有基站的接收信号，并根据式(24)得到调频斜率的估计值；然后，利用基本分类算法将调频斜率分类，类别数为辐射源目标个数的估计值；最后，利用相同类别的相关参数构造代价函数并使其最大化进而确定目标的位置。

3.4 目标位置估计

由式(24)可知，任意LFM信号的调频斜率 $\hat k$ 以及 ${{f_0}}$ 中的 ${f_1}$ 部分均可以在提取功率谱的峰值点后计算得到。将多目标问题转化为单目标问题后，即可应用式(25)对参数空间进行4维网格搜索便可进一步确定辐射源目标的位置 ${{{p}}\!_q}$ 、发射时间 ${t_{0,q}}$ 、信号持续时间 ${T_p}$ 以及 ${{f\!_0}}$ 中的 ${f\!_2}$ 部分。

对于目标 $q$ 而言，联合所有 $M$ 个接收基站的观测信号可以构造如下代价函数^[15]：

其中， ${\hat {{x}}_q}$ 是根据估计得到的信号参数还原的目标 $q$ 的发射信号(即将估计出的初始频率和调频斜率代入式(4)得到的信号)。对式(25)最大化，便可得到包含目标位置 ${{{p}}\!_q}$ 在内的4个参数的估计值。即

同式(16)相比，式(26)只需对参数空间展开4维搜索，在一定程度上降低了算法的计算复杂度。

综上，本文提出的定位算法流程图如图2所示。

4 仿真实验及结果分析

本节通过Monte Carlo仿真实验对比分析本文提出的DPD-FRFT算法、文献[5]中提出的DPD-unknown算法与DPD-known算法的性能。显然，前文推导的高维最大似然估计器在理论上是最优的，相比DPD-FRFT算法、DPD-unknown算法与DPD-known算法有最小的估计误差。然而由于计算的限制，实施该高维最大似然估计器花费的时间过长、代价过大，因此用DPD-known算法替代该算法。可以认为，DPD-known算法由于利用了发射信号完整的无误差的信息，因此是这几种定位算法误差的下界。

如图3所示，在一个2维笛卡尔坐标平面上，3个辐射源的位置坐标为 ${\rm{( - 2,0)\; km}}$ , ${\rm{(2,0)\; km}}$ , ${\rm{(0,2)\; km}}$ 。5个接收基站放置在以远点为圆心、半径为 ${\rm{6}}\;{\rm{km}}$ 的圆弧上。SNR变化区间为 ${\rm{ - 15}}$ ～ ${\rm{15}}\ {\rm{dB}}$ ，间隔 $\,{\rm{3}}\;{\rm{dB}}$ 。

辐射源均发射LFM信号，其信号参数如表1所示。

4.1 目标数量仿真

观测信号与式(5)具有相同形式，该信号由3个经过一定时延的LFM信号和噪声叠加得到。对该信号进行FRFT，得到的3维功率谱如图4所示。

由图4可知，当SNR=5 dB时，观测信号的功率谱中明显有3个局部极值点(红色椭圆标出)；但当SNR=–10 dB时，虽然也可分辨出功率谱的3个极值点，但由于受噪声影响并不明显。这表明应用FRFT可有效实现对LFM信号辐射源数量的估计，但受信噪比影响严重。其具体关系如图5所示。

由图5可知，在SNR大于0 dB左右时目标数量能够得到较好的估计。

4.2 定位性能仿真

本文用均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)衡量定位精度，其定义如下：

其中， $ \left|\left| \cdot \right|\right| $ 表示斐波那契范数； $N$ 是Monte Carlo实验次数，这里 $N{\rm{ = }}200$ ; ${{{p}}_i}$ 表示在第 $i$ 次实验中得到的某个辐射源位置的估计值。明确一点，利用图像膨胀算法提取到的观测信号功率谱的极值点只对应潜在的目标，该过程是基于恒虚警率(Constant False Alarm Rate, CFAR)的，而目标数量的估计值是基于这些可能的目标，并且定位误差处于一定范围内。

仅考虑单目标情况下DPD-unknown算法、DPD-known算法和本文提出的ST-DPD-FRFT算法(针对单个目标的DPD-FRFT算法)的性能比较。需要注意的是，该种对比方式使得DPD-unknown算法有一定的优势；但若ST-DPD-FRFT算法的定位性能优于DPD-unknown算法，那么该算法同多目标DPD算法将具有更大的优势。

由图6可知，在高信噪比下(约为 ${\rm{10}}\;{\rm{dB}}$ )，4种定位算法都取得了较好的定位精度；随着信噪比降低至 ${\rm{5}}\;{\rm{dB}}$ ，算法的定位性均出现不同程度的恶化；且由于受目标数量的影响，DPD-FRFT算法对单个目标的定位精度要劣于ST-DPD-FRFT算法。在所有算法中DPD-known算法的定位精度最优，而DPD-FRFT算法只有在高信噪比( ${\rm{0}}\;{\rm{dB}}$ 以上)情况下其性能才接近DPD-known算法。这主要是由于在低信噪比情况下，DPD-FRFT算法对LFM信号参数的估计误差增大，从而影响其定位精度。为了验证这一点，定义信号参数估计的准确率(Correct Rate of Estimation, CRE)：

其中， ${N\!_c}$ 表示在 $N$ 次Monte Carlo实验中信号参数的估计误差小于8%的次数。

图7表示目标发射信号的初始频率和调频斜率的估计准确率随信噪比的变化曲线。由图7可知，在信噪比低于 ${\rm{0}}\;{\rm{dB}}$ 时信号参数的估计准确率开始降低。进一步对比图5和图7可知，目标个数的估计准确性也取决于信号参数的估计准确率。这一结果表明目标发射信号参数的估计准确性直接影响了辐射源目标的定位性能。

5 结论

针对多个未知LFM信号辐射源，本文提出的DPD-FRFT算法在控制计算量的同时，可有效联合估计出目标位置和信号参数。该算法有益探索了多目标、多基站无源直接定位问题，获得了较好的精度定位。