1 引言

合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar, SAR)具有全天时全天候的远距离、高分辨探测能力，在遥感测绘、区域监测、地质勘探、灾难救援等众多领域发挥着重要的作用^[1]。随着对SAR成像需求的日益增加，具有更高波段、更大带宽的毫米波SAR逐渐成为该领域的研究热点。相比于低频段的SAR而言，毫米波SAR能够更容易地获得更大的信号带宽与多普勒带宽，从而实现更加精细的2维高分辨成像。同时，由于毫米波信号的波长更短，使得相应的SAR天线尺寸也随之减小，从而有利于SAR系统的小型化。相比于太赫兹波段而言，毫米波具有更好的穿透性，具有准全天时工作的能力^[2–6]。但是，信号带宽的增加为SAR系统带来了更加沉重的运算负担。一方面，SAR系统需要对回波数据进行高精度的数据采集，这将导致数据处理位宽增加，对系统的硬件性能提出了更高的要求；另一方面，信号采样率也需要相应地提升以避免信号频谱混叠，从而使得数据量增加，降低了数据处理的效率。

为了降低SAR数据采集、存储、传输、处理等的成本，20世纪90年代，国外学者针对SAR数据进行了1-bit采样量化的研究，利用欧洲遥感卫星ERS-1、美国航天飞机雷达X-SAR的数据进行了实验，所得到的成像结果并未引起明显的成像性能衰减^[7–9]。该研究初步分析了回波噪声对成像质量的影响，但并未深入揭示1-bit采样量化与时变阈值之间的深层关系^[10]。近年来，1-bit采样量化理论在系统架构简化与效率提升方面的优势再次引起信号处理领域的广泛关注。将1-bit采样量化与压缩感知理论结合，可以在信号满足稀疏条件时，通过优化算法对其进行有效的重构^[11]。国内外学者对1-bit压缩感知理论的研究逐渐深入，提出了贪婪追踪、置信区间、线性规划、迭代硬阈值、凸优化^[12–16]等一系列信号重构方法，并在SAR稀疏目标的成像中进行了应用^[17,18]。但当SAR场景稀疏性较差时，这类方法的重构性能会受到影响。此外，1-bit采样量化会造成信号相对幅度的非线性失真，将导致成像结果失真。文献[19,20]提出了基于随机阈值的1-bit压缩感知方法以恢复非线性量化中丢失的幅度信息，但该方法在常规的应用中会引入量化阈值的高精度存储问题，并不能有效地简化系统架构，这与1-bit采样量化的初衷相违背^[21]。

本文提出一种基于单频时变阈值的1-bit SAR成像方法。该方法在保留1-bit采样量化在系统简化、效率提升方面优势的同时，利用单频时变阈值保持1-bit采样量化中丢失的幅度信息，解决了阈值的生成与存储问题，同时避免随机阈值类噪声特性的影响，提高1-bit SAR成像质量。本文首先建立了基于单频时变阈值的1-bit SAR信号模型，然后分析了高次谐波分量对成像结果的影响，并通过单散射点目标、多散射点目标以及2维场景的仿真实验验证了算法的有效性。

2 基于单频时变阈值的1-bit SAR成像方法

SAR通过发射线性调频信号获得距离维的高分辨率，其发射信号为：

其中， ${t_\rm{r} }$ 为快时间， ${T_\rm{r} }$ 为SAR信号脉冲宽度， ${f\!_\rm{c} }$ 为载频， $\gamma $ 为调频率， $\rm{rect} \left( \cdot \right)$ 表示信号的矩形包络。经过场景散射后的回波为：

其中， $\sigma $ 为目标点的后向散射系数， $\tau $ 为目标点回波延时。对场景回波进行1-bit采样量化，其中采样阈值为频率为 ${f_0}$ 、幅度为 ${A_\rm{s} }$ 的单频信号，表达式为：

其中， $\varphi $ 为阈值的初相。在不同的脉冲重复间隔内，可以采用固定初相以最大程度简化阈值存储参数，或采用随机初相以降低时变阈值的相干特性。需要注意的是，单频时变阈值可以由模拟振荡器直接生成，其产生的成本与复杂度远小于需要预先计算、高精度存储、实时查表重现的随机时变阈值。令 $\,\phi \!=\! 2{{π}} {f\!_{\rm{c}}}({t_{\rm{r}}} - \tau ) + {{π}} \gamma {({t_{\rm{r}}} - \tau )^2}$ , $\psi = 2{{π}} {f\!_0}{t_\rm{r} } + 2{{π}} \varphi $ 。则基于单频时变阈值的SAR回波1-bit采样量化过程可以表述为：

其中， $\rm{sign} \left( \cdot \right)$ 表示符号函数。由于SAR通常采集的为复数据，因此1-bit采样量化的过程也需要分别针对数据的实部与虚部进行。符号函数的非线性量化过程可以写成如下积分形式：

1-bit采样量化造成了数据在1与–1之间跳变，由此引入了原始信号的高次谐波分量。如式(4)所示，量化前的信号包含SAR信号与单频时变阈值两个分量。因此，1-bit采样量化的过程不但引入了它们各自的高次谐波，同时还引入了两者的交叉调制分量。由此，式(5)可以写作如下形式^[22]：

其中， $m$ , $n$ 分别表示谐波阶次， ${J_m}\left( \cdot \right)$ 表示 $m$ 阶贝塞尔函数， ${\varepsilon _0} = 1$ , ${\varepsilon _1} = {\varepsilon _2} = {\varepsilon _3} = ·\!·\!· = 2$ 。当 $m + n$ 为偶数时， ${A_{mn}} = 0$ 。当 $m + n$ 为奇数时， ${A_{mn}} = \displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {\frac{{J_m}(\sigma \xi ){J_n}({A_{\rm s}}\xi )}{\xi} } {\rm d}\xi$ 表示谐波分量的幅度，它与单频阈值的幅度以及信号的幅度均存在关联，因此能够起到保留回波信号幅度信息的作用。将式(6)整理为复信号的形式，可得

由式(7)可知，高次谐波的产生会导致信号载频、带宽、调频率等参数的增大，且随着谐波阶次的升高而趋向于正无穷。在有限的信号采样率下，无限增大的带宽必将导致信号频谱的混叠。而单频时变阈值的高次分量将进一步对SAR信号高次谐波的频谱进行搬移，使其频谱的混叠位置与混叠形式发生变化。

高次谐波的混叠虽然会在一定程度上降低SAR成像质量，但值得注意的是，谐波带宽与调频率的增加也将导致SAR成像匹配滤波器的失配，从而使得高次谐波对原始SAR信号的影响也随着其阶次的升高而逐渐减弱。

3 高次谐波匹配滤波结果

宽带SAR信号在1-bit采样量化的过程中，其信号带宽与调频率等参数会随着谐波阶次的升高而变大。由于SAR成像所采用的匹配滤波器是按照原始信号的参数设计的，从而难以与高次谐波的参数相匹配。为了分析高次谐波在基于匹配滤波处理的SAR成像算法下的特性，可将SAR信号的 $k$ 次谐波表示为：

其中， ${A_k}$ 为谐波幅度。为了获得斜距维的高分辨成像，需要将预先设计的匹配滤波器与SAR回波信号进行卷积运算。该卷积过程一般通过两个信号的频谱相乘实现，即

其中， ${\mathcal{F}^{ - 1}}( \cdot )$ 表示逆傅里叶变换， ${S_{\rm{MF} }}({f\!_\rm{r} })$ 表示匹配滤波器的频谱，其具体形式由SAR信号参数决定，可表示为：

其中， $B$ 为信号带宽。 ${S_k}({f\!_\rm{r} })$ 表示 $k$ 次谐波 ${s_k}({t_\rm{r} })$ 的频谱，可以根据驻定相位原理推导得到。

当 $k = 1$ 时，式(8)表示SAR发射的原始信号，其参数与匹配滤波器的参数相匹配，由式(11)可以得到常规SAR回波的脉冲压缩结果，即

由式(12)可知，当匹配滤波器与信号的参数相匹配时，目标点的回波信号可以被压缩为sinc函数的形式。sinc函数的时域宽度由发射信号的带宽决定，这也是SAR系统需要利用宽带信号来获取距离维高分辨的原因。此外，匹配滤波后的信号幅度还能够获得 $\sqrt {B{T_\rm{r} }} $ 的相干处理增益。对于SAR系统而言，其发射信号的时宽带宽积通常较大，即 $B{T_\rm{r} } > > 1$ 。因此，匹配滤波处理还能够改善SAR回波的信噪比。

当 $k > 1$ 时，谐波信号的调频率变为 $k\gamma $ ，与匹配滤波器的参数失配。仍采用原始的匹配滤波器进行匹配滤波，得到的结果为：

匹配滤波器的频谱分布在 $\left[ { - {B/2},{B/2}} \right]$ 之间，因此式(13)的积分区间也被限制在该范围内。若将 ${f\!_\rm{r} }$ 替换为 ${t'\!\!_\rm{r} }$ ，则式(13)中的积分项具有与SAR信号相似的线性调频形式，相应的调频率为 $\gamma ' = (k - 1)/k\gamma $ 。因此，式(13)中的积分仍然可以采用驻定相位法进行求解，即

与式(12)中原始信号的匹配滤波结果相比， $k$ 次谐波的匹配滤波结果发生了散焦，即式(12)中的sinc函数衰退为矩形窗函数，使得信号能量分散在 $(k - 1){T_\rm{r} }/k$ 的区域内，该区域的时域宽度趋近于SAR信号的脉冲宽度 ${T_\rm{r} }$ 。相应的 $k$ 次谐波的幅度也衰减为 $1/\sqrt {(k - 1)B{T_\rm{r} }} $ ，随着 $k$ 的增大而趋向于0。

此外，单频时变阈值与SAR信号的载频分量也会在1-bit采样量化的过程中产生相应的高次谐波，从而导致宽带信号谐波分量的频谱搬移，使其不能与匹配滤波器的频谱完全重合，降低了宽带高次谐波对匹配滤波结果的影响。基于上述原因，高次谐波对原始SAR信号匹配滤波结果的影响微弱，可以忽略。因此1-bit回波信号可以在传统的基于匹配滤波的SAR成像算法下，获得与传统SAR回波相近的成像性能。

4 系统复杂度分析

以SAR成像匹配滤波过程中的乘法运算为例，在常规SAR系统中，由于回波数据采集的精度较高，需要处理的数据具有较高的位宽，从而需要高复杂度、高性能的乘法计算模块为支撑，如图1(a)所示。

而1-bit采样量化则大大降低了SAR回波信号的数据位宽，为简化SAR成像处理奠定基础。如图1(b)所示，对1-bit回波数据进行乘法运算，可将匹配滤波器分为1-bit符号位与高位宽数据位。其中符号位与1-bit回波信号进行异或非(XNOR)逻辑运算，数据位则直接与XNOR运算后的符号位重新组合，进行后续匹配滤波卷积运算中的求和运算。1-bit回波数据可以大大降低SAR成像处理的复杂度与实现成本，提高成像效率^[23]。

5 仿真实验

为了验证本文所提方法的有效性，分别采用理想点目标与2维SAR场景对所提方法进行验证。假设SAR工作在条带模式，其参数设置见表1。

其中信号阈值比定义为单次回波信号能量与单频时变阈值的能量之比。在实际应用中，回波信号能量可在接收到回波之后计算得到，由此确定所需的阈值幅度，并使其在成像过程中保持不变，不需要实时更新。

本文首先采用传统的采样量化对SAR回波数据进行录取，从而获得传统的SAR成像结果作为成像质量评价的基准；然后利用传统的1-bit采样量化方法，将回波数据与0阈值进行比较，获得1-bit回波数据；接着采用文献[7]中的方法，利用高斯分布的时变阈值对回波进行1-bit量化以保持信号的幅度信息；最后使用本文提出的基于单频时变阈值的1-bit采样量化方法进行数据采集。

5.1 单散射点目标仿真实验

首先利用单个理想散射点目标进行成像试验，以便对不同方法的成像聚焦质量进行定量对比。由于基于高斯阈值的1-bit方法与本文所提的基于单频阈值的1-bit方法均在采样量化的过程中引入了不确定性，在此对这两种方法分别进行了5000次蒙特卡洛实验。得到的单散射点目标仿真成像结果如图2所示。

由仿真结果可知，传统采样方法由于保留了完整的回波信号信息，从而能够与匹配滤波器较好地匹配，因此可以获得高质量的距离像。传统的1-bit采样量化方法引入了原始回波信号的高次谐波，使得距离像的旁瓣有所提高。而高斯阈值的引入虽然能够在信号幅度保持方面发挥一定的作用，但它的类噪声特性则使得匹配滤波结果进一步恶化，使得散射点的远区旁瓣显著升高。本文采用单频时变阈值保留信号的幅度信息，能够降低时变阈值对成像质量的影响，得到低于高斯时变阈值方法的远区旁瓣。对单散射点的峰值旁瓣比(Peak Side Lobe Ratio, PSLR)、积分旁瓣比(Integrated Side Lobe Ratio, ISLR)、脉冲响应宽度(Impulse Response Width, IRW)进行分析，可以得到如表2所示的定量分析指标。

值得注意的是，对于同一评价指标而言，虽然本文方法与高斯阈值1-bit方法均具有一定的随机性，但本文方法具有更小的方差，使得单次试验结果更加稳定可靠。

5.2 多散射点目标仿真实验

为了进一步分析1-bit采样量化方法对信号幅度信息的保持性能，本文进一步采用幅度分别为1, 2, 3的3个散射点进行仿真实验，结果如图3所示。

由图可知，采用0阈值的传统1-bit方法无法保持原始信号的幅度信息，从而导致目标绝对幅度的丢失。为了衡量该方法对目标相对幅度的保持能力，在此采用整体缩放的方法对传统1-bit方法进行调整，缩放系数 $A'$ 由 $ {\min } {\left\| {{{{{a}}}_0} - A'{\hat{{a}}}} \right\|} _2^2$ 准则计算得到，其中 ${{{a}}_0}$ 与 ${\hat{{a}}}$ 分别表示散射点的理论幅度向量与传统1-bit采样量化恢复的散射点幅度向量。在此基础上对不同方法的幅度恢复性能进行定量评价，结果如表3所示。

传统的采样量化虽然具有比较高的精度，但量化的过程不可避免地产生误差，使得多散射点的幅度恢复结果也存在误差。基于0阈值的传统1-bit方法经过整体缩放后也能够获得较好的幅度信息恢复结果，但缩放系数 $A'$ 的计算需要信号幅度的先验信息，难以在实际问题中应用。高斯时变阈值与单频时变阈值均能够有效地恢复信号的幅度信息，但相比之下，本文所提的单频时变阈值方法能够得到更小的整体误差与更加稳健的单次试验结果。

5.3 2维场景成像实验

针对不同的方法进行2维场景的成像实验分析。成像场景包含房屋、道路、车辆、树木等不同类型的目标，散射系数的动态范围较大，能够较好地反映不同成像方法的幅度信息保持能力。利用不同的方法对该场景进行成像，结果如图4所示。

传统1-bit采样量化方法会造成信号相对幅度信息的严重失真与绝对幅度信息的丢失，因此，与传统的高精度SAR成像方法相比，图4(b)中基于0阈值的1-bit成像结果在强散射区域存在较明显的失真。以高精度成像结果为基准，利用结构相似度(Structural SIMilarity index，SSIM)^[24]对传统1-bit成像结果进行评价，得到的评价结果为0.7541。而基于高斯时变阈值的1-bit方法虽然能够较好地保留场景的散射幅度信息，但在成像结果中引入了类噪声干扰，因此图4(c)的成像信噪比较差。该方法成像结果的SSIM为0.8543，相比于传统1-bit方法有所改善。本文采用的基于单频阈值的1-bit采样量化方法不仅能够保留信号的幅度信息，同时避免了在成像过程中引入类噪声干扰，因此图4(d)的SSIM指标能够达到0.9160，相比于其他方法有了较大的提高。将图4中虚线框内区域进行局部放大，可以得到图5所示结果。

图5(a)的传统成像结果中，道路与田野的边缘能够较清晰地区分。传统的1-bit成像方法造成了场景散射系数的非线性失真，因此图5(b)中的田野区域出现了较多的亮斑，且道路与田野边缘的清晰度明显下降。而基于高斯时变阈值的1-bit成像结果引入了类噪声干扰，同时受到高次谐波的影响，使得成像结果的整体信噪比下降，田野中的强散射点(图5(c)中○所示)几乎被噪声淹没。本文提出的基于单频时变阈值的1-bit成像方法避免了阈值的类噪声特性，虽然高次谐波的出现仍然会在一定程度上降低成像信噪比，但图5(d)中强散射点的质量较图5(c)有所提高。由于1-bit采样量化在简化系统、降低成本、提高效率方面具有不可替代的优势，由高次谐波带来的成像质量衰减被认为可以接受。

6 结论

本文针对SAR回波数据位宽高、数据量大的问题，提出了基于单频时变阈值的1-bit SAR成像方法，在发挥1-bit采样量化在简化系统、提升效率方面优势的同时，提升了1-bit SAR成像的质量。分析了高次谐波以及交叉调制分量的形成机理，并在基于匹配滤波的成像算法下推导了谐波分量对成像结果的影响。仿真实验结果表明，本文所提方法能够较好地保证SAR图像的聚焦，并避免传统随机时变阈值的类噪声影响，提高1-bit SAR成像的质量。在后续的工作中，我们将基于本文提出的方法研究1-bit SAR系统的参数设计策略，降低高次谐波的影响，进一步提升1-bit SAR数据的成像质量。