1 引言

海洋涡旋是一种旋转的、以封闭环流为主要特征的水体，是由于各种气象因素作用和海洋动力不稳定性形成的。作为一种重要的海洋现象，涡旋不仅能够影响海洋流场与化学物质的输送，从而对海洋的环流结构和海洋生态等产生重要作用，还能通过海气相互作用，对风场、云及降雨等大气现象产生影响^[1,2]。

合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar, SAR)具有全天时、全天候、高分辨率、广覆盖面等优点，对海洋涡旋探测具有特殊意义，受到国际海洋遥感界的重视。然而，涡旋在SAR成像时会受到各种海洋环境因素的影响，通过真实SAR图像难以完全解译涡旋的特征。利用仿真SAR图像可以为涡旋的SAR图像特征解译提供指导，但是目前利用SAR图像对涡旋的研究主要集中在涡旋的统计性研究^[3–5]、涡旋的形成机制和成像分类^[6–8]以及涡旋的检测和特征提取方面的研究^[9–12]，极少有关于涡旋SAR图像仿真方法的研究。

由于海面随机运动且电磁散射特性复杂，难以进行时间和空间上的SAR原始回波仿真。海浪谱能够描述随机海面不同波长海浪的能量分布情况，因此利用海浪谱可以很好地描述不同海况下随机海面的统计特征。海洋涡旋、内波、浅海地形、锋面等都可看作是通过波流交互作用，即利用自身流场改变海浪谱分布，并经过海面电磁散射模型，进而得以在SAR图像上体现。目前SAR海面图像仿真常用的电磁散射模型包括Kirchhoff散射模型、Bragg散射模型以及组合表面散射模型^[13]。这些模型只考虑了1阶Bragg散射，仅适用于低频(小于L波段)SAR海面图像仿真。1997年，Romeiser和Alpers^[14,15]提出了改进的组合表面模型，该模型考虑了2阶Bragg波散射的影响，从而使仿真的SAR海面图像更接近实际情况。2002年，Romeiser^[16]利用该模型研究了浅海地形在SAR图像上的特征，并与声学多普勒流速剖面仪测量的浅海地形进行对比，验证了该模型用于SAR海面图像仿真的合理性；2011年，欧阳越等^[17]利用该模型仿真了不同雷达参数下海洋内波图像，并同实际内波SAR图像进行对比，发现二者具有较高的一致性。但是目前，利用海面电磁散射模型对海洋涡旋SAR图像仿真的研究尚未见报道。

为此，本文提出了一种海洋涡旋SAR图像仿真方法，利用流体力学中典型的Burgers-Rott涡旋模型，建立涡旋的2维流场。利用SAR海洋成像仿真模型，仿真涡旋SAR图像。基于此方法，本文进行了气旋式涡旋与反气旋式涡旋SAR图像仿真实验，并将仿真SAR图像与ERS-2 SAR图像和ENVISAT-1 ASAR图像进行对比，从而验证该方法的有效性。

2 涡旋SAR图像仿真方法

本文建立的涡旋SAR图像仿真方法，是在给定2维涡旋流场和风场条件下，利用SAR海洋成像模型生成随机海面的2维海浪谱，再根据2维海浪谱与SAR图像之间的调制传递函数，生成仿真涡旋SAR图像。

涡旋SAR图像仿真方法分为两步，如图1所示。首先，输入涡旋流场参数，基于涡旋动力学模型建立涡旋2维流场(于2.1节介绍)。然后，将仿真的涡旋流场和海面风场输入到SAR海洋成像仿真模型，通过设置SAR参数获得仿真涡旋SAR图像(于2.2节介绍)。

2.1 涡旋2维流场仿真

涡旋一般遵循流体力学的纳维-斯托克斯(Navier-Stokes，简写N-S)方程，根据方程中黏性力项、惯性力项以及离心力项的平衡关系，可以建立不同的涡旋模型。常见的涡旋模型包括Rankine涡旋、Oseen涡旋、Sullivan涡旋以及Burgers-Rott涡旋^[18–20]，其中，Rankine涡旋模型没有考虑N-S方程中的黏性力项，流体以常角速度 $\omega $ 旋转，没有径向速度，因而不能产生涡旋的辐散、辐聚和上升运动；Oseen涡旋模型仅考虑N-S方程中惯性力项的局地项及黏性力项，其轨道是一个圆形涡旋，不符合实际SAR图像中涡旋的形态；Sullivan涡旋模型和Burgers-Rott涡旋模型考虑了N-S方程中全部的黏性力项、惯性力项及离心力项，但由于Sullivan涡旋模型的轨道是一个双螺旋涡旋，Burgers-Rott涡旋模型的轨道是一个螺旋形涡旋，后者与真实SAR图像所呈现的涡旋形状更为接近，因此本文选用Burgers-Rott涡旋模型来建立海洋涡旋的流场。

Burgers-Rott涡旋模型是从N-S方程求得的一个涡旋解^[19,20]，假定涡旋是定常和轴对称的，涡旋速度场在柱坐标系下表示为：

其中， ${V_r},{V_\theta },{V_z}$ 分别是 $r,\theta ,z$ 方向的速度分量， $\alpha $ 为吸入强度， $\upsilon $ 为黏性系数， ${\varGamma _0}$ 是 $r \to \infty $ 时的速度环量， $\varGamma {\rm{ = }}2{{π}} r{v_\theta }$ 。

将式(1)转化为直角坐标系，涡旋速度场可表示为：

其中， ${V_x}$ 为涡旋速度场在 $x$ 方向上的速度分量， ${V_y}$ 是涡旋速度场在 $y$ 方向上的速度分量。

通过设置参数 $\alpha{{、}}\ {\varGamma _0}/\upsilon $ 的值，根据式(2)可以得到涡旋2维流场。通过仿真发现， $\alpha $ 的值会影响涡旋流场流速的大小， $\alpha $ 的值越大，涡旋流场流速越大，反之则越小； $\alpha $ 的正负影响涡旋流场的旋向， $\alpha $ 为正，流场顺时针旋转， $\alpha $ 为负，流场逆时针旋转； ${\varGamma _0}{\rm{/}}\upsilon $ 的值则会影响涡旋臂的曲率， ${\varGamma _0}{\rm{/}}\upsilon $ 的值越大，涡旋臂的曲率越大。

2.2 涡旋SAR图像仿真

获得了涡旋的流场之后，下一步将进行涡旋SAR图像的仿真。本文使用SAR海洋成像仿真模型来仿真涡旋SAR图像。SAR海洋成像仿真模型主要分为波流交互作用模型、雷达后向散射模型和SAR成像模型3个部分，如图2所示。

首先，将仿真的涡旋2维流场和海面风场输入到波流交互作用模型，通过求解作用量谱平衡方程，计算给定海面流场和海面风场下被调制的海浪谱。作用量谱平衡方程如式(3)所示^[21]：

其中， $N$ 为微尺度波作用量谱密度， ${x} = (x,y)$ 为空间位置矢量， ${k} = ({k_x},{k_y})$ 为波数矢量， $U$ 为表面流场， ${c_g}$ 为被调制波浪的群速度， $S$ 为源函数(风场输入、非线性波-波作用和弥散等作用之和)，在本文模型中采用的源函数表达式为：

其中， ${N_0}$ 为不存在海流时平衡状态下的作用量谱密度， $\mu $ 为松弛率。

作用量谱密度与海浪谱的关系为^[23]：

其中， ${\omega _0}({k}) = \sqrt {g{k} + (\tau/\rho ){{k}^3}} $ , $\tau $ 为表面张力， $\rho $ 为海水密度， $\psi $ 为海浪谱。

令 $Q({x},{k}{\rm{,}}t) = 1/N({x},{k}{\rm{,}}t)$ , ${Q_0}({k}) = 1/{N_0}({k})$ ，则被流场调制后的海浪谱为：

其中， $\delta Q$ 表示调制引起的作用量谱变化量。

然后，将计算得到的海浪谱输入到雷达后向散射模型，在给定雷达频率、入射角、极化方式及雷达视向等雷达参数下，仿真涡旋SAR图像后向散射强度。本文采用的雷达后向散射模型为改进的组合表面模型，是Romeiser和Alpers等在Bragg共振散射模型基础上的改进^[14,15]。该模型同时考虑了长波和中波对短波的倾斜调制和水动力调制，所以从理论和试验研究上更能表现海面微波散射的实际情况，是目前最为完善的海面微波散射模型之一。该模型是基于2维海面坡度，通过傅里叶变换对后向散射截面进行泰勒级数展开，并对后向散射截面进行时间和空间上的平均。由于1阶项平均后为0，因此得到2阶Bragg散射后的海面归一化后向散射系数为^[14,22]：

其中， ${\sigma ^{(0)}}$ 为平静海面的归一化后向散射系数； $\left\langle {{\sigma ^{(2)}}} \right\rangle $ 表示表面坡度引起的2阶Bragg散射之和；符号 $ \left\langle \cdot \right\rangle $ 表示统计平均； ${s} = \left( {{s_{\rm{p}}},{s_{\rm{n}}}} \right)$ 为海面坡度； ${k_{\rm{p}}}$ , ${k_{\rm{n}}}$ 分别为平行和垂直于雷达视向的Bragg波波数分量； $\psi \left( {k} \right)$ 为海浪波数谱；符号 $ \wedge $ 和 $ \vee $ 分别表示 $\sigma $ 对波数 ${k}$ 的傅里叶变换及其共轭； $ \wedge \wedge $ 和 $ \vee \vee $ 表示 $\sigma $ 对组合波数 ${k_1} + {k_2}$ 的傅里叶变换及其共轭； $ \wedge \vee $ 和 $ \vee \wedge $ 表示 $\sigma $ 对组合波数 ${k_1} - {k_2}$ 的傅里叶变换及其共轭。

上述过程中，利用海浪谱与雷达后向散射模型得到仿真的海面归一化后向散射系数，但这是一个实孔径雷达成像过程，SAR图像仿真还需考虑海面运动的影响。当目标存在沿雷达视线方向的径向速度时，将在方位向上产生偏移 $\Delta x$ ：

其中， $R$ 是雷达至目标的距离， $V\;$ 是平台飞行速度， $\lambda $ 是雷达波长， ${f_{\rm{D}}} = - \displaystyle\frac{{2{v_{\rm{r}}}}}{\lambda }$ 是目标速度导致的Doppler谱中心偏移。对于海面而言，由于其各点速度不同，在方位向上偏移量不同，导致SAR海面图像产生压缩或拉伸的现象，即速度聚束效应^[24]。此外，分辨单元内不同散射点速度的分布方差将造成回波Doppler谱展宽，并导致分辨率下降。SAR成像模型通过计算每个分辨单元的平均Doppler谱中心和方差引入海面运动对SAR成像造成的影响。

这里采用Romeiser和Thompson^[25]给出的双高斯形Doppler谱模型计算Doppler谱中心和方差，该模型将海面回波Doppler谱分成朝向雷达和远离雷达两个传播方向的Bragg波Doppler谱的叠加，每个Doppler谱分量为高斯形，其具体表达式为：

其中， $ \pm $ 表示远离雷达方向和朝向雷达方向的两组Bragg波分量， $ \left\langle{f_{{\rm{D}} \pm }} \right\rangle _\sigma $ 表示经过归一化后向散射系数 $\sigma $ 加权的平均Doppler中心； ${\gamma _{{\rm D} \pm }}$ 表示Doppler谱的方差。 $\left\langle{f_{{\rm D} \pm }}\right\rangle _\sigma $ 和 ${\gamma _{{\rm D} \pm }}$ 的具体计算过程可以参考文献[25]，这里不再赘述。

另外，仿真的SAR图像还需考虑噪声的影响，本文涡旋SAR图像仿真过程中，仅考虑热噪声对仿真SAR图像信噪比的影响。信噪比由噪声等效后向散射系数以及海面归一化后向散射系数所决定：

其中，海面归一化后向散射系数 $\left\langle \sigma \right\rangle $ 由入射角、雷达频率、极化方式、海面风速等参数所决定， $NE{\sigma ^0}$ 为噪声等效后向散射系数，由系统硬件参数所决定。因此，SAR成像模型根据给定的仿真输入参数计算信噪比，从而得到具有统计特性的仿真涡旋SAR图像。

3 涡旋SAR图像仿真实验

根据涡旋旋转方向的不同，可将涡旋分为气旋式涡旋与反气旋式涡旋^[26]。气旋式涡旋在北半球逆时针旋转，在南半球顺时针旋转；反气旋式涡旋在北半球顺时针旋转，在南半球逆时针旋转。不同旋转方向的涡旋将产生不同的涡旋流场，从而在SAR图像中呈现不同的涡旋特征。下面，本文分别针对气旋式涡旋与反气旋式涡旋进行仿真实验。

3.1 气旋式涡旋仿真实验

图3是一幅ERS-2 SAR图像，图像获取时间为2009.08.19, 02:23:50 UTC，获取地点为中国东海海域。图中方框1处为一个气旋式涡旋，旋转方向为逆时针。为了便于对比仿真SAR图像与真实SAR图像，将方框1处的涡旋截取出来，截取图像尺寸为18 km×24 km，如图4所示。ERS-2 SAR图像的具体雷达参数如表1所示。

从欧洲中期天气预报中心(Europe Centre for Medium-Range Weather Forecasts, ECMWF)获取2009.08.19, 03:00:00时刻的风场再分析资料，分辨率为0.125°×0.125°。根据数据显示，涡旋区域附近的风速为1.4 m/s，风向为257.9°。从全球海洋数据同化系统(Global Ocean Data Assimilation System, GODAS)获取相同位置的5日平均流场再分析资料，分辨率为(1/3)°×1°。根据数据显示，涡旋区域附近的流速为0.61 m/s。因此，设置参数 $\alpha $ 为–0.003486，流场大小设置为18 km×24 km，空间分辨率为100 m，雷达参数设置为表1中ERS-2SAR参数。

图5(a)、图5(b)分别是该涡旋的仿真SAR图像与获取的真实SAR图像，仿真时设定的雷达参数、海面风场条件与真实SAR图像获取条件完全一致。对比图5(a)、图5(b)两图发现，仿真SAR图像与真实SAR图像中的涡旋臂形状几乎一致，涡旋臂的亮暗特征也基本吻合。从逆时针方向看，涡旋臂由外到内的亮暗特征均为亮-暗-亮，这种亮暗特征的变化是由雷达后向散射引起的布拉格波谱密度变化导致的^[7]。这初步验证了仿真方法的正确性。

为了进一步验证仿真方法的正确性，定量地描述仿真SAR图像与真实SAR图像的中涡旋的相似程度，采用文献[9]中基于对数螺旋线边缘拟合的SAR图像涡旋信息提取方法，提取仿真SAR图像和真实SAR图像中涡旋的中心位置、直径及边缘长度，并加以比较。拟合及提取结果如图6所示，红色加号表示涡旋中心位置，黄色箭头表示涡旋直径，蓝色曲线表示涡旋边缘，具体数值如表2所示。

对比仿真SAR图像与真实SAR图像的涡旋信息提取结果，可以发现两幅图像中涡旋的中心位置较为一致，方位向和距离向上仅相差3～4个像素点，涡旋直径及边缘长度的相对误差均不超过0.011，证明本文提出的基于Burgers-Rott涡旋模型的涡旋SAR图像仿真方法能够实现气旋式涡旋的SAR图像仿真，并且仿真SAR图像与真实SAR图像能够较好地吻合。

3.2 反气旋式涡旋仿真实验

3.1节对气旋式涡旋进行了仿真实验，本节将针对反气旋式涡旋进行仿真实验。图7是一幅ENVISAT-1 ASAR图像，图像获取时间为2010.06.11, 01:51:48 UTC，获取地点在吕宋海峡。图中方框2处为一个反气旋式涡旋，旋转方向为顺时针。将方框2处的涡旋截取出来，截取图像尺寸为24 km×24 km，如图8所示。ENVISAT-1 ASAR图像的具体雷达参数如表3所示。

从ECMWF获取2010.06.11, 03:00:00时刻的风场再分析资料，分辨率为0.125°×0.125°。根据数据显示，涡旋区域附近的风速为2.1 m/s，风向为45°。从GODAS获取相同位置的5日平均流场再分析资料，分辨率为(1/3)°×1°。根据数据显示，涡旋区域附近的流速为0.23 m/s。因此，设置参数 $\alpha $ 为0.000657，流场大小设置为24 km×24 km，空间分辨率为100 m，雷达参数设置为表3中ENVISAT-1 ASAR参数。

图9(a)、图9(b)分别是该涡旋的仿真SAR图像与真实SAR图像，仿真时设定的雷达参数、海面风场条件与真实SAR图像完全一致。对比图9(a)、图9(b)两图发现，仿真SAR图像与真实SAR图像中的涡旋形状基本一致，涡旋臂的亮暗特征也较为吻合。从顺时针方向看，涡旋臂从外到内均呈现为由暗到亮的特征。该结果与Lyzenga等人^[6]研究结果一致，初步验证了仿真方法的正确性。

为了定量地描述仿真SAR图像与真实SAR图像的中涡旋的相似性，同样采用3.1节中的分析方法，得到涡旋拟合结果如图10所示，提取的涡旋信息如表4所示。

对比仿真SAR图像与真实SAR图像的涡旋信息提取结果，可以发现两幅图像中涡旋的中心位置较为接近，方位向和距离向上均相差3个像素点，涡旋直径及边缘尺寸相对误差均不超过0.006，这进一步验证了仿真方法的正确性，说明本文提出的基于Burgers-Rott涡旋模型的涡旋SAR图像仿真方法能够实现反气旋式涡旋的SAR图像仿真。

4 总结

本文基于Burgers-Rott涡旋模型，提出了一种涡旋SAR图像仿真方法，并分别针对气旋式涡旋与反气旋式涡旋进行了仿真实验。通过将仿真SAR图像与真实SAR图像对比验证发现，本文提出的涡旋SAR图像仿真方法能够实现气旋式涡旋和反气旋式涡旋的SAR图像仿真，且仿真SAR图像与真实SAR图像能够较好地吻合。

通过涡旋SAR图像仿真实验发现，无论气旋式涡旋还是反气旋式涡旋，其涡旋臂在SAR图像中都会呈现亮暗交替变化的特征。其中，气旋式涡旋臂呈现两个亮暗交替周期，即亮-暗-亮；反气旋式涡旋臂呈现一个亮暗交替周期，即暗-亮。这是由于这两个涡旋臂的曲率不同，气旋式涡旋臂曲率较大，亮暗交替周期较多，反气旋式涡旋臂曲率较小，亮暗交替周期较少。

由于涡旋在SAR成像时会受到各种海洋环境因素的影响，通过真实SAR图像难以完全解译涡旋的特征。本文提出的SAR图像仿真方法能够弥补这种不足，可以清晰地获取涡旋的尺度、亮暗等特征，这为海洋涡旋特征的解译和提取提供了便利。