1 引言

探地雷达作为一种高效的无损检测工具，在国防、考古、地质勘探、道路与桥梁检测等方面具有十分广泛的应用^[1–4]。探地雷达的回波信号解释方法可以分为两类，一类是从信号中识别反射脉冲的幅值和时延，然后依据简化的传播模型对被检测媒质的厚度和介电常数进行反演^[5]；另一类是先对雷达信号在被检测媒质中的传播过程进行物理建模，然后利用最优化方法对回波信号进行全波反演，得到媒质的介电常数和厚度^[6]。全波反演方法是从物理角度出发模拟雷达回波信号的产生机理，因此能获得更高的检测精度。传统的探地雷达建模方法对雷达信号的传播过程作了较强的简化假设，尤其是在建模过程中忽略了天线对雷达信号的影响，包括天线的辐射模式、增益、传播时间、色散以及天线与媒质间的相互作用等。

为了准确模拟天线系统对雷达信号的影响，许多研究人员采用数值方法对探地雷达系统进行建模，包括时域有限差分方法(FDTD)^[7,8]、有限元方法(FEM)^[9]、矩量法(MOM)^[10]等。这些数值方法的优势在于能够处理各种复杂的媒质结构，并且不需要对被检测媒质做过多的简化假设。但是数值建模方法的劣势在于计算效率低，这使得它们在需要对正演模型进行大量的重复计算的全波反演方法中不适用。探地雷达系统在特定的应用场景下也可以利用解析方法进行建模，如针对平面分层媒质的检测。在众多的解析建模方法中，基于电场积分方程的方法是最有前景的。例如，Gentili和Spagnolini采用与频率无关的电偶极子阵列对喇叭天线进行建模^[11]，但是在该模型中，没有考虑雷达信号在天线口面与媒质之间的多次反射。Lambot等人^[6]针对单站配置(收、发天线重合)步进频探地雷达系统提出了一种建模的方法，该方法在平面分层媒质中的雷达回波模拟和介电参数反演等方面有着出色的表现。由于常用的探地雷达系统都采用准单站配置(收、发天线分离但离得较近)，本文基于单站配置探地雷达的建模思想提出了一种用于准单站配置的步进频探地雷达正演模型。在该正演模型中，发射天线和接收天线被等效为水平电偶极子，天线对雷达信号的影响以及天线与分层媒质间的相互作用被表示为只与频域有关的传输函数。为验证提出的正演模型的建模精度，本文在实验室条件下利用矢量网络分析仪和喇叭天线搭建了步进频探地雷达系统，并依据正演模型对从厚度已知的石膏板和木板测得的雷达信号进行全波反演。为进一步比较准单站配置和单站配置的探地雷达系统的反演性能，本文利用石膏板、木板和金属板构建了3层结构模型，并对两种配置的探地雷达在3层结构中得到的回波信号进行了全波反演。通过对反演结果分析，证明了准单站配置探地雷达因其具有更高的信噪比而具有更好的反演性能。

2 探地雷达建模及全波反演 2.1 单站步进频探地雷达建模

利用矢量网络分析仪搭建单站步进频探地雷达系统时，发射天线与接收天线重合。当分层媒质处于探地雷达的远场区域时，天线口面处接收到的回波近似为平面波，此时在探地雷达的正下视方向上天线的增益可以假设为只与频率有关。在该假设下，单站配置的步进频探地雷达信号可以用一个只与频率有关的线性方程进行建模^[6]。在该建模方法中，探地雷达的信号 ${S_{11}}\left( \omega \right)$ 可以表示为

其中， $b\left( \omega \right)$ 和 $a\left( \omega \right)$ 分别表示在矢量网络分析仪校准面上的反射信号和发射信号； ${H_{{i}}}\left( \omega \right)$ 表示由矢量网络分析仪校准面与天线馈电点间的阻抗不匹配，天线内部阻抗渐变，以及天线口面处的阻抗突变产生的综合反射效应； $H\left( \omega \right) = {H_\rm t}\left( \omega \right){H_\rm r}\left( \omega \right)$ 为发射天线与接收天线的传输函数的乘积，用来表示天线的增益和传播时间； ${H_{\rm {f}} }\left( \omega \right)$ 表示发生在天线口面与媒质间的多次反射； $G_{{\rm{xx}} }^{\, 0}\left( \omega \right)$ 为置于天线口面处的零偏置水平电偶极子的格林函数^[12]，用来表示雷达信号在分层媒质中的响应； $\omega $ 为角频率。

2.2 准单站探地雷达正演模型

本文提出了一种用于准单站配置的步进频探地雷达的正演模型。考虑到在准单站配置中，发射天线与接收天线间的偏置较小，因此在远场条件下接收天线处测得的电场可以作平面波近似，同时在正下视方向上天线的增益只与频率有关。在该假设条件下，发射天线与接收天线可以分别用一个位于天线口面中心处的水平电偶极子近似；其中天线的增益、相位延迟、收发天线间的互耦以及天线与分层媒质间的相互作用可以用一组只与频率有关的传输函数表示。依据这些假设，本文提出了按照图1所示的系统框图对准单站步进频探地雷达进行建模。

根据图1所示，步进频探地雷达的信号可以表示为

其中， $b\left( \omega \right)$ 和 $a\left( \omega \right)$ 分别表示矢量网络分析仪校准面处的反射信号和发射信号； ${T_0}\left( \omega \right)$ 表示发射天线与接收天线间的耦合系数； ${T_{\rm{i}}}\left( \omega \right)$ 表示发射天线的发射传输函数； ${T_{\rm{s}}}\left( \omega \right)$ 表示接收天线的接收传输函数； $G_{{\rm{xx}} }^0\left( \omega \right)$ 和 ${G_{{\rm{xx}} }}\left( \omega \right)$ 分别表示水平分层媒质上方零偏置和单偏置水平电偶极子的格林函数。对于准单站配置的探地雷达系统，从发射天线直接传播到接收天线的信号有一部分会被反射出来，重新形成新的发射信号，系统框图中复系数 $r\left( \omega \right)$ 表示这部分的反射效应； $T_{\rm{i}}{\, '}\left( \omega \right)$ 表示接收天线充当发射天线时的发射传输函数；正反馈分量 ${R_{\rm{s}}}\!\left( \omega \right)$ 表示雷达信号在接收天线与平面分层媒质间的多次反射。式(2)可以通过定义中间变量 $T\left( \omega \right) = {T_{\rm{i}}}\left( \omega \right){T_{\rm{s}}}\left( \omega \right)$ , $ {\rm TR}\left( \omega \right) =$ $ r\left( \omega \right)T_{\rm{i}}{\,'}\left( \omega \right){T_{\rm{s}}}\left( \omega \right)$ 进行化简：

传输函数 ${T_0}\left( \omega \right)$ , $T\left( \omega \right)$ , ${\rm TR}\left( \omega \right)$ 和 ${R_{\rm{s}}}\left( \omega \right)$ 可以通过求解式(3)得到。由于 ${S_{21}}\left( \omega \right)$ 可以直接测得，当分层媒质的参数已知时， ${G_{\rm xx}}\left( \omega \right)$ 和 $G_{{{\rm xx}} }^{\,0}\left( \omega \right)$ 可以精确计算，因此本文采用在足够大的金属板上方远场区域不同高度处进行测量构建方程组，这里足够大的金属板可以当作无限大平面理想电导体。由于有4个待求解传输函数，理论上构建4个方程即可。为了避免求得传输系数与雷达的测量高度有关，这里进行M次测量构成冗余方程组，其中M>>4。利用 ${S_{21,k}}\left( \omega \right)$ 表示第k(k=1, 2, $ ·\!·\!·$ , M)次测得的雷达信号， $G_{{\rm{xx}} ,k}^{\, 0}\left( \omega \right)$ 和 ${G_{{\rm{xx}} ,k}}\left( \omega \right)$ 为对应的格林函数，则得到的第k个方程为

因此线性方程组可以表示为以下矩阵形式：

其中

未知参数向量 ${{x}}$ 可以利用最小二乘方式进行求解

其中，H表示共轭转置操作。

2.3 全波反演

分层媒质的参数反演问题本质上是一个寻找全局最优解 ${{z}} = \left[ {{\varepsilon _u},{\sigma _u},{h_u}} \right]$ , u=1, 2, ···, N的优化问题，其中， ${\varepsilon _u}$ 表示第u层媒质的介电常数， ${\sigma _u}$ 表示电导率， ${h_u}$ 表示第u层的厚度。通过定义目标函数 ${\rm{obj}} \left( {{z}} \right)$ ，则参数反演的过程就是使目标函数最小化的过程。由于探地雷达目标的反射信号限制在一定时间范围内，因此全波反演过程一般在时域进行。目标函数可以定义为

其中， ${{{s}}^*}\!\left( t \right)$ 是包含时域反演目标信号的向量； ${{s}}\!\left( t \right)$ 是反演过程中利用未知参数向量 ${{z}}$ 仿真得到的时域波形向量； ${\rm{IFFT}}\left[ \cdot \right]$ 表示逆傅里叶变换； ${{{S}}^*}\!\left( \omega \right)$ 表示探地雷达系统测得的信号； ${{S}}\!\left( {\omega ,{{z}}} \right)$ 表示仿真得到的探地雷达信号； $\left\| \cdot \right\|$ 表示向量的二范数； $\left| \cdot \right|$ 表示求模操作；上标T表示转置操作。在多数的电磁反演问题中，目标函数都是极度非线性的，其解空间中存在很多局部最优解，因此一般电磁反演问题都使用全局最优化算法，如遗传算法、差分进化算法等。

3 模型校准和验证 3.1 模型校准

本文利用便携式矢量网络分析仪模块S5048^[13]和2个喇叭天线搭建步进频探地雷达系统。其中，矢网的工作频段为0.9～4.0 GHz，共256 个频率点，中频带宽为3 kHz，在测试前矢网经过校准件进行校准。喇叭天线长24 cm，口面尺寸为16 cm×30 cm，有效带宽为0.8～8.0 GHz。2个天线呈E面平行放置，天线口面中心点相距20 cm。为了得到正演模型的传输函数，利用该雷达在一个2.5 m×2.5 m大的金属板上方0.48～0.75 m高度范围内进行55 次不同高度的测量，如图2所示。为了量化建模误差，可以定义一个建模误差函数：

其中，y是各个高度下金属板实测信号， ${{{y}}^*}$ 是各个高度下金属板实测信号的最优逼近值， ${{x}}$ 是传输函数的最小二乘解。为了验证模型中的参量 $r\left( \omega \right)$ 的作用，可以通过将式(2)中的 $r\left( \omega \right)$ 置零，得到一个简化的模型：

利用同样的雷达测量数据可以对上述简化模型的传输参数进行求解。图3展示了参数简化模型和原始模型在各个频率上的建模误差。结果表明，去掉模型参量 $r\left( \omega \right)$ 后，雷达系统的建模误差会上升，因此在模型中考虑参量 $r\left( \omega \right)$ 的贡献对提升探地雷达系统建模的准确度是十分重要的。

3.2 模型验证

为验证提出的正演模型的准确度，本文利用搭建的探地雷达系统分别在厚为28.4 mm面积为1.6 m×1.8 m的石膏板和厚度为19.0 mm面积为1.8 m×2 m的干木板上方不同高度处进行测量，并且用一个面积为2.5 m×2.5 m的覆铜板用来充当底部的边界条件，如图4所示。在对测得的雷达信号进行参数反演时，假定石膏板和干木板的介电常数与频率无关，且两者的电导率均可忽略。图5(a)和图5(b)分别展示了利用反演参数得到的仿真波形和实测波形，从图中可以看出利用反演结果得到的仿真波形和实测波形具有很高的吻合度。

表1和表2分别展示了对石膏板和干木板的雷达测量波形进行全波反演得到的结果。

在表1中，反演得到的石膏板的平均相对介电常数为2.32，标准差为0.006。在表2中，反演得到的木板的平均相对介电常数为2.73，标准差为0.009。石膏板和木板的最大厚度反演误差均为0.3 mm。在表1和表2中反演得到的介电常数的值都比较稳定，且对应的反演厚度误差都非常小，因此利用反演得到的相对介电常数的平均值代表其真实值是合理的。表1和表2的反演结果说明本文提出的准单站步进频探地雷达的正演模型具有很高的精确度。为了进一步验证，在原始模型中考虑参数 $r\left( \omega \right)$ 能够提升模型的精度，本文利用简化模型对同样的石膏板测量数据进行了全波反演。表3中为利用简化模型反演得到的石膏板参数。对比表1和表3的结果可知，由简化模型反演得到的石膏板的介电常数略微大于原始模型得到的介电常数。这是因此，利用简化模型进行全波反演时，实际由原始模型中参数 $r\left( \omega \right)$ 对反射波形产生的部分贡献也被错误地归因于简化模型中的其他参数，导致简化模型中得到的石膏板反射波形比实际石膏板的反射波形强度大，即等效反射系数大，而在进行全波反演时，利用的是最小化均方误差的优化准则，因此最终通过最优化方法反演得到的石膏板介电常数也会略大于真实值。

4 准单站配置与单站配置探地雷达性能对比

根据前人的研究成果和本文的实验结果表明，单站配置和准单站配置步进频探地雷达系统都能被精确地建模，且能获得良好的反演性能。为了进一步比较准单站配置和单站配置探地雷系统在介电常数差异较小的分层媒质中的反演性能，本文利用相同的矢量网络分析仪和天线在不改变频率测量点和中频带宽等配置参数的条件下搭建了单站步进频探地雷达系统。在实验室条件下利用相同的石膏板和木板搭建了3层结构模型，其中第1层为空气，第2层为石膏板，第3层为木板，并且用2.5 m×2.5 m的覆铜板充当分层媒质的底部边界条件。同样利用单站配置和准单站配置的探地雷达分别在3层结构上方不同高度处进行测量，并对测量波形进行反演。表4和表5分别展示了准单站配置和单站配置的雷达测量波形的反演结果。从结果中可以看出，对于两个不同配置的探地雷达，反演得到的石膏板的介电常数都非常接近其真实值。对于木板的介电常数，由准单站配置的探地雷达得到的反演结果更接近真实值，且标准差更小。在石膏板和木板的厚度反演中，由准单站配置探地雷达系统得到的厚度反演误差整体更小。表4和表5的结果表明，当分层媒质的介电常数差异较小时，准单站配置的探地雷达系统具有更好的反演性能。影响全波反演结果精度的一个主要因素就是信号的信噪比。为了理解准单站配置探地雷达系统的优势，这里分析了两个雷达系统获得的信号的信噪比。在单站配置中，矢量网络分析仪采用反射测量模式，其端口需要采用定向耦合器进行收发信号分离。由于定向耦合器的隔离度一般只有23 dB，因此在接收信号中有一部分是从发射端串扰过去的噪声。经校准过的矢量网络分析仪能获得有效的方向性增益约为46 dB^[13]，所以矢网在进行反射测量时其系统内部归一化噪声主要受系统的方向性增益影响。当矢网采用传输测量方式工作时，由于收发通道在物理上是隔离的，因此其归一化噪声主要受中频带宽影响。对于校准后的矢网，在其接收端口接上匹配负载可以实际测得其内部归一化的噪声水平。另外，当分层媒质的厚度和介电常数已知时，可以利用正演模型有效估计在不同的雷达配置下测量到的来自各分界面反射信号的归一化功率。这里利用图6(a)所示的3层结构模型来说明如何估计来自分界面的反射信号，由该3层媒质测得的反射信号可以看作是分别由分界面 ${z_2}$ 和 ${z_3}$ 产生的反射信号的叠加。

如果介电常数 ${\varepsilon _2}$ 和 ${\varepsilon _3}$ 相等，那么在分界面 ${z_3}$ 上将不会产生反射。此时3层分层模型退化成了2层分层模型，如图6(b)。这里用符号 $S\left( \omega \right)$ 和 ${S_1}\left( \omega \right)$ 分别表示由3层模型和2层模型得到雷达信号，因此单独来自于3层模型中的分界面 ${z_3}$ 的反射信号 ${S_2}\left( \omega \right)$ 可以表示为

假定天线高度为525 mm，利用表1和表2中反演的石膏板( ${\varepsilon _2}$ )和木板( ${\varepsilon _3}$ )的介电常数，以及两者的真实厚度( ${h_2},{h_3}$ )，依据式(15)可以准确计算来自石膏板和木板间的分界面的反射信号。图7(a)和图7(b)分别展示了两种雷达配置下得到的归一化反射信号和归一化内部噪声，以及对应的信噪比。可以看出，准单站配置探地雷达能获得更高的信噪比，因此在反演中表现出更好的性能。

5 结束语

本文提出了一种用于准单站配置的步进频探地雷达的正演模型。通过在已知厚度的石膏板和木板上方不同高度处进行测量，并对测得的雷达回波进行全波反演，证明了该正演模型具有很高的建模精度。通过利用石膏板和木板构建参数已知的3层模型，并分别构建单站配置探地雷达和准单站配置探地雷达进行参数反演，证明了当分界面上下介质介电常数差异较小时，准单站配置探地雷达因为其底噪更低能获得更高的信噪比，因此反演性能更好。虽然本文中是利用VNA测试的结果验证准单站配置探地雷达比单站配置探地雷达系统信噪比高，反演性能好，但是该结论同样适用于其他形式构建的步进频探地雷达系统。